Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней

Пример

Решить иррациональное уравнение

Решение

Проведем преобразование уравнения:

Заметим, что преобразования, при которых происходило избавление от знаков корней, могли привести к расширению ОДЗ и как следствие – к появлению посторонних корней. Других причин возможного появления посторонних корней в нашем случае нет (мы не проводили возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень). Значит, отсеивание посторонних корней можно провести по ОДЗ.

Запишем условия, определяющие ОДЗ: . Решить эту систему непросто, так как она содержит иррациональное неравенство. Нет смысла утруждаться с нахождением ОДЗ в виде числового множества, так как можно отсеять посторонние корни не по ОДЗ, а по условиям ОДЗ. Так и поступим.

Подставим по очереди найденные корни  и  в систему  и посмотрим, что это даст.

Подставляем , имеем . Поработаем с первым неравенством, опираясь на свойства числовых неравенств:

Мы выяснили, что первое неравенство неверное. Это означает, что  не удовлетворяет первому условию ОДЗ. Следовательно,  — посторонний корень для исходного уравнения.

Теперь подставляем второй корень  в систему . Это дает . Преобразуем первое неравенство:

Так как корень из пяти больше единицы, то последнее числовое неравенство является верным. Значит, верное и первое неравенство системы.

Теперь поработаем со вторым неравенством системы:

Так мы выяснили, что второе неравенство системы неверное. Значит,  не удовлетворяет второму условию ОДЗ. Следовательно,  — это посторонний корень для исходного уравнения.

Таким образом, решаемое уравнение  не имеет корней.

В заключение заметим, что проверка подстановкой потребовала бы еще больших усилий в преобразованиях.

Ответ:

нет решений.