Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней — 1

Пример

Решите уравнение 

Решение

Это — иррациональное уравнение (см. что такое иррациональные уравнения). Его можно решить, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат:

В цепочке преобразований уравнения были преобразования, из-за которых могли появиться посторонние корни. Действительно, посторонние корни могли появиться из-за возведения обеих частей уравнения во вторую степень. Также посторонние корни могли появиться из-за замены выражения  тождественно равным ему выражением 2·x−1, которая привела к расширению области допустимых значений. Значит, обязательно нужно провести проверку с целью отсеивания посторонних корней.

Выполним проверку подстановкой. По очереди подставим x₁=1 и x₂=5 в исходное уравнение и посмотрим, что при этом получится:

Подстановка единицы дала неверное числовое равенство, следовательно, x₁=1 – посторонний корень для исходного уравнения. Подстановка x₂=5 привела к верному числовому равенству, значит, x₂=5 – корень исходного уравнения.

Таким образом, уравнение  имеет единственный корень 5.

Ответ:

5