Метод решения уравнений h(f(x))=h(g(x))

Пример

Решите уравнение .

Решение

Очевидно, уравнение имеет структуру h(f(x))=h(g(x)), где , , а h – основная элементарная функция арксинус. Это навевает мысль решить уравнение методом освобождения от внешней функции. Для этого надо:

убедиться, что функция h принимает каждое свое значение только по одному разу,

перейти к уравнению f(x)=g(x) и решить его,

отсеять посторонние корни при необходимости.

Мы знаем, что функция арксинус — возрастающая. Значит, каждое свое значение она принимает по одному разу. Это нам дает право продолжить решение, освободившись от внешней функции.

Переходим от исходного уравнения к уравнению . Это рациональное уравнение, решаем его:

Итак, уравнение, полученное из исходного путем освобождения от внешней функции, имеет два корня x₁=3 и x₂=1/2.

Нужно ли в нашем случае проводить отсеивание посторонних корней? Здесь быстрее осуществить проверку подстановкой, чем думать над ответом:

Но все же, давайте для интереса поразмыслим, нужна ли была проверка вообще. Посмотрим, что происходит с ОДЗ при переходе от исходного уравнения к уравнению . Для исходного уравнения ОДЗ определяется условиями , а для полученного – лишь одним условием 2·x−4≠0. Налицо расширение ОДЗ. А это, как известно, может быть причиной появления посторонних корней. Поэтому, мы обязаны провести отсеивание посторонних корней. Отсеивание логично проводить по условиям ОДЗ, так как мы их уже записали:

Ответ:

1/2.