Обзор общих методов решения уравнений

Данная статья представляет собой обзор общих методов решения уравнений. Здесь дана минимально необходимая информация по теме. В этом плане представленный ниже материал схож с информацией из одноименного параграфа одного школьного учебника [1, c. 211-218]. Но в этой статье материал дополнен ссылками на подробное описание каждого метода. А это дает возможность при надобности углубленно изучить общие методы решения уравнений, в частности, познакомиться с обоснованием методов, рассмотреть алгоритмы решения уравнений и разобрать готовые решения различных характерных уравнений.

Есть методы решения уравнений, которые направлены на решение уравнений какого-то конкретного вида. Например, метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же натуральную степень используется преимущественно для решения иррациональных уравнений. Для решения уравнений других видов, например, рациональных, тригонометрических и т.д., этот метод практически бесполезен. Но существуют методы, позволяющие решать уравнения разных видов, а не только какого-то одного вида. Такие методы и называют общими.

Метод введения новой переменной позволяет решать уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)), где f, f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная, а также уравнения, которые могут быть приведены к указанному виду. Состоит метод во введении новой переменной t=g(x). Введение переменной позволяет от исходного уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) перейти к уравнению с новой переменной f(t)=0 или f₁(t)=f₂(t) соответственно. Дальше находятся корни полученного уравнения с новой переменной: t₁, y₂, …, t_n. После этого осуществляется возврат к старой переменной, для чего составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n. Решение этой совокупности дает интересующее нас решение исходного уравнения.

Например, метод введения новой переменной позволяет решить уравнение . Здесь стоит принять . Это позволяет перейти от исходного уравнения к квадратному уравнению t²−3·t+2=0 с новой переменной t, которое имеет два корня t₁=1 и t₂=2. Возврат к старой переменной происходит путем составления совокупности двух уравнений  и . Это рациональные уравнения. Решением первого является x=2, а решением второго является x=1,5. Так методом введения новой переменной получено решение исходного уравнения: 1,5, 2.

Подробное описание метода введения новой переменной, включающее обоснование метода, алгоритм решения уравнений этим методом и примеры решения характерных уравнений, дано в этой статье.

Метод разложения на множители предназначен для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0, где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения, а x – переменная. То есть, методом разложения на множители решаются уравнения, в левой части которых находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль. Суть метода состоит в замене решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 решением совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на ОДЗ для исходного уравнения.

Приведем простой пример. Уравнение  может быть решено методом разложения на множители. Переходим от исходного уравнения к совокупности двух уравнений  и . Иррациональное уравнение  имеет единственное решение x₁=1 (см. Решение иррациональных уравнений). Логарифмическое уравнение  тоже имеет единственное решение x₂=4. Значит, совокупность уравнений имеет два решения x₁=1, x₂=4. Но области допустимых значений для исходного уравнения, которой является множество (3, +∞), принадлежит лишь одно из решений x₁=1, x₂=4, а именно, x₂=4. Оно и является единственным корнем уравнения .

Подробное описание этого общего метода и решения других характерных примеров смотрите в статье «Метод разложения на множители».

Для решения уравнений h(f(x))=h(g(x)), где f, g и h – функции, причем функция y=h(t) принимает каждое свое значение по одному разу, в частности, строго возрастает или строго убывает, а x – независимая переменная, может использоваться метод освобождения от внешней функции. Этот метод состоит в переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения.

Например, методом освобождения от внешней функции можно решить уравнение . Здесь в качестве внешней функции выступает y=h(t), где . Эта функция возрастающая как сумма двух возрастающих функций  и , значит, каждое свое значение она принимает по одному разу. Это нам позволяет перейти от исходного уравнения к уравнению . Равносильные преобразования позволяют привести последнее уравнение к квадратному уравнению x²+x−2=0, которое имеет два корня x₁=−2 и x₂=1. Из этих корней только x₁=−2 принадлежит ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, x₁=−2 – единственный корень исходного уравнения.

Рекомендуем детально разобраться с этим общим методом решения уравнений, обратившись к материалу статьи «Метод освобождения от внешней функции».

Обзор общих методов решения уравнений продолжаем функционально-графическим методом. Этот метод предполагает использование функций, отвечающих частям решаемого уравнения, а точнее, их графиков и свойств. Можно выделить три основных направления функционально-графического метода:

• Первое направление базируется на использовании графиков функций, это так называемый графический метод решения уравнений.
• Второе направление в своей основе имеет использование свойств возрастающих и убывающих функций.
• Третье направление основано на использовании свойств ограниченности функций. Это так называемый метод оценки.

За более детальной информацией обращайтесь к материалу статьи «Функционально-графический метод решения уравнений».

В рамках общих методов можно рассматривать метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть, уравнений f(x)/g(x)=0, где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x. Метод состоит в переходе от уравнения f(x)/g(x)=0 к уравнению f(x)=0 на ОДЗ для исходного уравнения. Этот переход можно проводить вне зависимости от вида выражений f(x) и g(x), поэтому, мы можем считать соответствующий метод решения общим.

Также можно считать общим метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам, то есть, уравнений 0·f(x)=C, где C – некоторое число, f(x) – некоторое выражение с переменной x.

Литература