Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК), и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70.
Решение.
В этом примере a=126, b=70. Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126, после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдем НОД(126, 70), используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следовательно, НОД(126, 70)=14.
Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=
Ответ:
НОК(126, 70)=630.
Пример.
Чему равно НОК(68, 34)?
Решение.
Так как 68 делится нацело на 34, то НОД(68, 34)=34. Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=
Ответ:
НОК(68, 34)=68.
Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b, то наименьшее общее кратное этих чисел равно a.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b. В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7. Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7. Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210, то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050.
Пример.
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Решение.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители:
Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Ответ:
НОК(441, 700)= 44 100.
Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b, то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b.
Для примера возьмем все те же числа 75 и 210, их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Ко множителям 3, 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210, получаем произведение 2·3·5·5·7, значение которого равно НОК(75, 210).
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648.
Решение.
Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. К множителям 2, 2, 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2, 3, 3 и 3 из разложения числа 648, получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7, которое равно 4 536. Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536.
Ответ:
НОК(84, 648)=4 536.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.
Теорема.
Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak, наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk−1, ak).
Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.
Пример.
Найдите НОК четырех чисел 140, 9, 54 и 250.
Решение.
В этом примере a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.
Сначала находим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9). Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9), имеем 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следовательно, НОД(140, 9)=1, откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)=
Теперь находим m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54). Вычислим его через НОД(1 260, 54), который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогда НОД(1 260, 54)=18, откуда НОК(1 260, 54)=
Осталось найти m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250). Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следовательно, НОД(3 780, 250)=10, откуда НОК(3 780, 250)=
Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500.
Ответ:
НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.
Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее.
Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Решение.
Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13.
Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2, 2, 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6. Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84. Дальше к множителям 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48, получаем набор множителей 2, 2, 2, 2, 3 и 7. К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143. Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13, которое равно 48 048.
Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.
Ответ:
НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34), а НОК(−622, −46, −54, −888)=
Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a (a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a, тогда b делится на a, и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q, что b=a·q. Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q), которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a, то есть, b есть кратное числа −a. Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a, то b является кратным и числа a.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45.
Решение.
Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45. Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45). Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)=
Ответ:
НОК(−145, −45)=1 305.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.