Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Эта статья создана, чтобы ответить на вопрос «как решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение  описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как  — частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

   Пример.

   Решите задачу Коши , .

   Решение.

   Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям .

   Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения  и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть, .

   Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.

   Найдем . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.
   

   Корни действительные и различные, поэтому, .

   Переходим к . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение  ищем в виде , где А, В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства .
   

   Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, приходим к системе линейных уравнений . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты . Следовательно,  и .

   Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

   Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . То есть, требуется определить такие C₁ и C₂ в равенстве , чтобы выполнялись условия .

   Имеем
   

   С другой стороны .

   Таким образом, получаем систему уравнений . Откуда .

   Следовательно, решением задачи Коши является функция
   

   К началу страницы
2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Q_n(x) определяются из равенства .

   Пример.

   Найти общее решение дифференциального уравнения .

   Решение.

   Общее решение имеет вид .

   Нашему уравнению соответствует ЛОДУ . В предыдущем примере мы выяснили, что корнями его характеристического уравнения являются k₁ = 0 и k₂ = 2 и .

   Так как правая часть исходного уравнения представляет собой произведение , то частное решение ЛНДУ ищем в виде , причем Q_n(x) – многочлен второй степени,  и r=0, так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице. Поэтому , где А, В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства .

   Так как
   
   то
   

   Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А, В и С.
   

   Следовательно,  — частное решение исходного ЛНДУ и  — общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

   К началу страницы
3. Если функция f(x) имеет вид , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

   Пример.

   Найти общее решение дифференциального уравнения .

   Решение.

   Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
   

   Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому, .

   Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а , то  будем искать в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства .

   Имеем
   

   Поэтому
   

   Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах:
   

   Следовательно,  и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
   

   К началу страницы
4. Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , P_n(x), Q_k(x), L_m(x) и N_m(x) — многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов L_m(x) и N_m(x) находятся из равенства .

   Пример.

   Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

   Решение.

   В нашем случае . Следовательно, m=max(n,k)=1.

   Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
   

   Корни действительные и различные, поэтому, .

   Теперь ищем общее решение исходного неоднородного уравнения  в виде
   
   где А, В, С и D – неизвестные коэффициенты, а r=0 так как нет ни одной пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения равных .

   Коэффициенты А, В, С и D найдем из равенства .
   

   После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем
   

   Приравниваем соответствующие коэффициенты (в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам) и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом:
   

   Таким образом,
   
   и
   

   Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

   К началу страницы
5. Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:
   • находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂, где y₁ и y₂ — линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С₁ и С₂ – произвольные постоянные;
   • варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C₁(x) ⋅ y₁ + C₂(x) ⋅ y₂;
   • производные функций C₁(x) и С₂(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C₁(x) и C₂(x) находятся при последующем интегрировании.

   Пример.

   Найдите общее решение дифференциального уравнения .

   Решение.

   Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения  и решаем его:
   

   Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде .

   Определим производные функций C₁(x) и C₂(x) из системы уравнений:
   

   Решаем систему относительно неизвестных  и  любым способом. Ее решениями являются
   

   Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем
   

   Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид