В этой статье рассмотрим основные принципы нахождения общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, и подробно разберем решения нескольких примеров.
Для начала рекомендуем вспомнить основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 
, а неоднородное 
, где функции f(x), p(x) и q(x) — непрерывны на интервале интегрирования X. В частном случае, когда функции p(x) = p и q(x) = q есть постоянные, нахождение общего решения описано в разделах линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
В каком же виде ищется общее решение ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка? Сформулируем две теоремы, которые отвечают на этот вопрос.
Теорема.
Общим решением y0 линейного однородного дифференциального уравнения 
на интервале X с непрерывными коэффициентами 
на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ 
с произвольными постоянными коэффициентами 
, то есть 
.
Теорема.
Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения 
на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму 
, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ , а 
— какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.
Таким образом,
- y0=C1⋅y1+C2⋅y2 — общее решение дифференциального уравнения , где y1 и y2 – его линейно независимые частные решения,
- а — общее решение уравнения , где — любое из его частных решений, а y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ.
Осталось научиться находить y1, y2 и .
Линейно независимые функции y1 и y2 наиболее часто находятся среди наборов
Линейная независимость функций y1 и y2 проверяется с помощью определителя Вронского 
. Если функции линейно независимы на интервале X, то определитель Вронского отличен от нуля для любого x из промежутка X.
К примеру, функции y1 = 1 и y2 = x линейно независимы для любого действительного значения x, так как 
.
Функции y1 = sinx и y2 = cosx также линейно независимы на R, так как
А вот функции y1 = — x — 1 и y2 = x + 1 линейно зависимы на интервале (-∞; +∞), так как
В общем случае подбор y1, y2 и труден и далеко не всегда возможен.
Если получится подобрать нетривиальное (ненулевое) частное решение y1 ЛОДУ второго порядка , то его общее решение можно отыскать, понизив степень уравнения до первой с помощью подстановки 
.
Рассмотрим пример.
Пример.
Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка 
.
Решение.
Несложно заметить, что y1 = x является частным решением дифференциального уравнения при x ≠ 0. Понизим степень исходного уравнения с помощью замены 
откуда 
.
Если вспомнить правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, то
.
Подставив эти результаты в исходное уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:
Проинтегрировав обе части равенства, получаем 
и после потенцирования общее решение можно записать как 
, где С – произвольная постоянная.
Так как мы принимали 
, то общим решением исходного ЛОДУ второго порядка будет 
, где F(x) одна из первообразных функции 
.
Первообразная F(x) в элементарных функциях не выражается.
При решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка , если удалось найти y1 и y2, то можно не заниматься подбором . Общее решение ЛНДУ может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.
В этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2. Варьируя произвольные постоянные, в качестве общего решения ЛНДУ принимаем y0 = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2. Производные неизвестных функции C1(x) и C2(x) определяются из системы уравнений 
, а сами функции C1(x) и C2(x) получаются при последующем интегрировании.
Пример.
Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка 
.
Решение.
Несложно заметить, что линейно независимыми частными решениями соответствующего ЛОДУ 
являются 
и 
, то есть, 
. Варьируем произвольные постоянные, и в качестве общего решения исходного дифференциального уравнения примем 
.
Составляем систему уравнений
Для ее решения используем метод Крамера:
Интегрируем полученные выражения для нахождения C1(x) и C2(x):
Таким образом, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид 
.
Подведем итог.
- Общее решение ЛОДУ второго порядка ищется в виде y0=C1⋅y1+C2⋅y2, где y1 и y2 – его линейно независимые частные решения. Частные решения y1 и y2 подбираются (обычно из известных систем линейно независимых функций). y1 и y2 подобрать далеко не всегда удается, поэтому, найти общее решение дифференциального уравнения не всегда возможно. Если одно частное решение y1 найдено, то порядок уравнения может быть снижен до первого с помощью замены . Решив полученное уравнение, находится общее решение исходного ЛОДУ второго порядка.
- Общее решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где — любое из его частных решений, а y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ. Таким образом, сначала находится y0 — общее решение дифференциального уравнения (если это возможно), далее подбирается (если получится). Или сначала подбираются y1 и y2 (как угодно), а общее решение ЛНДУ определяется методом вариации произвольных постоянных.
Список литературы.
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.