Сразу скажем, что найти в аналитическом виде общее решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков далеко не всегда возможно. В большинстве случаев используют приближенные методы решения.
В этой статье мы озвучим основные теоретические сведения о решении ЛОДУ n-ого порядка вида 
и ЛНДУ n-ого порядка вида 
.
Начнем с линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка, после чего перейдем к неоднородным ДУ.
Теорема.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами 
определяется линейной комбинацией 
, где 
— линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а 
— произвольные постоянные.
Функции являются линейно независимыми на некотором интервале X, если тождество 
справедливо лишь при нулевых коэффициентах 
.
Для линейно независимых функций определитель Вронского не обращается в ноль при любых x из X:
Неравенство нулю определителя Вронского можно использовать как критерий линейной независимости функций на интервале.
Как же находить — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка?
Обычно эти функции подбираются из стандартных систем линейно независимых функций:
Если удалось подобрать все n линейно независимых частных решения , то можно записывать общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка — оно имеет вид . Если же удалось подобрать лишь несколько линейно независимых частных решений, то можно понизить степень исходного уравнения с помощью замены. Но на этом останавливаться не будем (если нужно, обращайтесь к дополнительной литературе).
Теперь разберемся с линейными неоднородными дифференциальными уравнениями n-ого порядка вида .
Теорема.
Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n вида с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами 
и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения 
соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения 
исходного неоднородного уравнения. То есть, 
.
О нахождении y0 — общего решения соответствующего ЛОДУ n-ого порядка мы поговорили выше. Осталось разобраться с нахождением — частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
В некоторых случаях какое-нибудь частное решение бывает достаточно очевидно, то есть, оно подбирается. Если же подобрать сложно, но известны n линейно независимых частных решений соответствующего ЛОДУ, то общее решение исходного ЛНДУ n-ого порядка может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.
В этом случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде 
, а функции C1(x), C2(x), …, Cn(x) находятся интегрированием после решения системы уравнений
На этом закончим.
Список литературы
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.