Эта статья посвящена решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений 
. Сначала разобран метод вариации произвольной постоянной и показано его применение при решении задачи Коши. Далее озвучен метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения двух функций u(x) и v(x), и для его пояснения приведено подробное решение примера.
Если в тексте будут встречаться незнакомые термины, то Вам может быть полезен раздел основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.
Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка.
Линейному неоднородному дифференциальному уравнению (ЛНДУ) соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) 
(при Q(x) = 0). Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его.
При y=0 дифференциальное уравнение обращается в тождество, поэтому y=0 также является решением (этому случаю соответствует решение 
при C=0). Таким образом, можно утверждать, что — общее решение ЛОДУ, где С – произвольная постоянная.
Теперь мы знаем, что решение линейного однородного дифференциального уравнения . Для нахождения общего решения соответствующего неоднородного уравнения варьируем постоянную С, то есть, считаем С функцией аргумента x, а не константой. Другими словами, принимаем 
общим решением ЛНДУ.
Тогда, если подставить в дифференциальное уравнение , то оно должно обратиться в тождество
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения:
Производная сложной функции 
равна 
. А если вспомнить свойства неопределенного интеграла, то 
.
Таким образом, возможен следующий переход: 
.
Полученное уравнение есть простейшее дифференицальное уравнение первого порядка. Решив его, мы определим функцию C(x), что позволит записать решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде .
Подведем итог.
Метод вариации произвольной постоянной при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка состоит из трех этапов:
- сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ в виде ,
- далее варьируется произвольная постоянная С, то есть, заменяется функцией С(x),
- в заключении функция подставляется в исходное дифференциальное уравнение, откуда определяется C(x) и записывается ответ.
Покажем применение метода вариации произвольной постоянной на примере.
Пример.
Найдите решение задачи Коши 
, y(1) = 3.
Решение.
Иными словами, нам требуется отыскать частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения при начальном условии y(1) = 3. В нашем примере 
и Q(x) = x2 + 1. Сначала найдем общее решение ЛОДУ. Далее воспользуемся методом вариации произвольной постоянной и определим общее решение ЛНДУ, и, наконец, найдем искомое частное решение.
Общим решением соответствующего ЛОДУ 
является семейство функций 
, где С – произвольная постоянная. (Решить это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными предоставляем Вам самим).
Варьируем произвольную постоянную 
и подставляем эту функцию в исходное уравнение:
откуда 
, где C1 – произвольная постоянная.
Следовательно, 
— общее решение неоднородного уравнения.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 3.
Так как 
, то 
. Обратившись к начальному условию, получаем уравнение 
, откуда 
. Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид 
.
Можно переходить к рассмотрению другого метода решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений .
Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка.
Если подставить эту функцию в линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, то получим
Если найти такое v, чтобы оно было ненулевым частным решением дифференциального уравнения 
, то u можно будет определить из уравнения с разделяющимися переменными 
.
Разберем этот способ, решив предыдущий пример.
Пример.
Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .
Решение.
Пусть y = u ⋅ v, тогда
Находим такое v, отличное от нуля, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Иными словами, находим частное решение дифференциального уравнения 
.
Возьмем частное решение v = x2 + 1, соответствующее C2 – С1 = 0.
Для этого частного решения имеем
Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть 
.
Видно, что ответы совпадают. Так что выбирайте, какой из методов решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка Вам ближе и пользуйтесь им.
Список литературы
- Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.