Виды дифференциальных уравнений, методы решения

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Сначала рекомендуем ознакомиться с определениями и понятиями теории дифференциальных уравнений. Далее можно переходить к видам дифференциальных уравнений.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу методы интегрирования.

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .Запишем несколько примеров таких ДУ .

  Дифференциальные уравнения  можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0. Примерами таких ОДУ являются .

  Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения  при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

  В статье простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Вы можете ознакомиться с подробной теорией и посмотреть примеры решения таких ОДУ.

• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида  или .Дифференциальные уравнения  называют уравнениями с разделенными переменными.

  Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

  Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫ f(y)dy = ∫ f(x)dx.

  В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем .

  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f₂(y) ⋅ g₁(x). То есть, получим . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f₂(y) ≠ 0 и g₁(x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения.

  Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются .

  Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

  Дифференциальные уравнения  приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение  с помощью подстановки z = 2x+3y приобретает вид .

  ОДУ  или  преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен  или . Например, дифференциальное уравнение  после замены  принимает вид .

  Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x² или y² числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения , чтобы оно соответствовало случаям  или  соответственно.

  Дифференциальные уравнения  преобразуются к только что рассмотренным ОДУ  или , если ввести новые переменные , где  — решение системы линейных уравнений  и провести некоторые преобразования.

  Например, дифференциальное уравнение  после введения новых переменных  преобразуется к виду . Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем . В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными .

  В разделе дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными подробно разобрана теория и приведены подробные решения аналогичных примеров.

• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка .В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести .

  Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).

  В статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка подробно изложены методы интегрирования таких ЛНДУ и приведены подробные решения примеров и задач.

• Дифференциальное уравнение Бернулли .Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например, .

  Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой .

  Можно также пользоваться методом, основанным на представлении функции y как y(x) = u(x)v(x).

  В разделе дифференциальное уравнение Бернулли подробно расписаны методы нахождения решений и разобраны решения примеров и задач.

• Уравнения в полных дифференциалах .Если для любых значений x и y выполняется , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.

  К примеру, левая часть дифференциального уравнения  представляет собой полный дифференциал функции .

  Подробное описание теории и решение примеров изложены в разделе уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

• Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими  или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или  соответственно.

  Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения  являются k ₁ = -3 и k ₂ = 0. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
  

  Подробное описание теории и разобранные решения примеров и задач смотрите в разделе линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы  общего решения соответствующего ЛОДУ  и частного решения  исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение  определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

  В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
  

  Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

• Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)  и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

  Общее решение ЛОДУ  на некотором отрезке [a; b] представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y ₁ и y ₂ этого уравнения, то есть, .

  Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
  

  Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

  Примером ЛОДУ является .

  Общее решение ЛНДУ  ищется в виде , где  — общее решение соответствующего ЛОДУ, а  — частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении  мы только что говорили, а  можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

  В качестве примера ЛНДУ можно привести .

  Теорию и решение примеров смотрите в разделе линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

• Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

  В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене  и определить неизвестную функцию y.

  Например, дифференциальное уравнение  после замены  станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

  Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим
  
  и так далее.

  Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.

  К примеру, дифференциальное уравнение  заменой  приводится к уравнению с разделяющимися переменными .

  Подробное решение подобных примеров представлено в статье дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.

• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами  и .Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статья решение уравнений высших степеней. Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ  записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где  — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.  можно определить методом вариации произвольных постоянных.

  В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .

  Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков  и .Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где  — общее решение соответствующего ЛОДУ, а  — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

   представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство  в тождество. Частные решения  обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

  Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.

  Итак, .

  Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Системы дифференциальных уравнений вида .

В разделе системы дифференциальных уравнений изложена суть их решения и разобраны примеры.