Системы дифференциальных уравнений

В этой статье мы разберем решение простейших систем дифференциальных уравнений вида формула , где a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ — некоторые действительные числа. Сначала покажем метод интегрирования системы уравнений, далее подробно опишем решение примера.

Решением такой системы является пара функций x(t) и y(t), обращающая в тождества оба уравнения системы.

Опишем метод интегрирования систем дифференциальных уравнений формула .

Исключим неизвестную функцию x(t) из первого уравнения системы. Для этого выразим x из второго уравнения системы формула , продифференцируем по t второе уравнение системы и разрешим его относительно : .

Подставляем полученные результаты в первое уравнение системы, тем самым неизвестная функция x(t) будет исключена:
формула

Так мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Находим его решение y(t). Подставив это решение во второе уравнение системы, находим x(t). На этом решение системы дифференциальных уравнений закончено.

Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы дифференциальных уравнений формула .

Решение.

Разрешим второе уравнение системы относительно x: формула . Продифференцируем второе уравнение системы и разрешим относительно : .

Подставляем полученные результаты в первое уравнение системы дифференциальных уравнений:
формула

Так мы пришли к ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами формула . Определив его общее решение, мы получим функцию y(t).

Найдем сначала y₀ — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Для этого вычислим корни характеристического уравнения формула :

Так как корни действительные и различные, то общее решение однородного дифференциального уравнения запишется как формула .

Переходим к нахождению формула — частного решения ЛНДУ .

Так как его правая часть представляет собой многочлен нулевой степени, то частное решение будем искать в виде формула , где A – неопределенный коэффициент.