Эту статью начнем с обзора необходимых определений и понятий.
Далее озвучим геометрический смысл производной, дадим пояснения и графическую иллюстрацию.
После этого перейдем к записи уравнения касательной прямой и приведем подробные решения самых характерных примеров и задач.
В заключении остановимся на нахождении уравнения касательной к кривым второго порядка, то есть, к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе.
Определения и понятия.
Определение.
Углом наклона прямой y=kx+b называют угол 
, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y=kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).
Определение.
Угловым коэффициентом прямой y=kx+b называют числовой коэффициент k.
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть, 
.
- Угол наклона прямой равен нулю, когда прямая параллельна оси абсцисс. В этом случае нулю равен и угловой коэффициент, так как тангенс нуля есть ноль. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид y=b.
- Когда угол наклона прямой y=kx+b является острым (
или 
), то угловой коэффициент k является положительным числом (так как тангенс острого угла принимает положительные значения 
) и указывает на возрастание графика прямой. - В случае, когда
прямая располагается перпендикулярно оси абсцисс (параллельно оси ординат) и задается равенством x=c, где c — некоторое действительное число. - Когда угол наклона прямой y=kx+b является тупым (
или 
), то угловой коэффициент k является отрицательным числом и указывает на убывание графика прямой.
<center
Определение.
Прямую AB, проведенную через две точки графика функции y=f(x), называют секущей. Другими словами, секущая – это прямая, проходящая через две точки графика функции.
— красной дугой.
Если принимать во внимание, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (об этом говорили выше), и тангенс угла в прямоугольном треугольнике ABC есть отношение противолежащего катета к прилежащему (это определение тангенса угла), то для нашей секущей будет справедлива серия равенств 
, где 
— абсциссы точек А и В, 
— соответствующие значения функции.
То есть, угловой коэффициент секущей определяется равенством 
или 
, а уравнение секущей записывается в виде 
или 
(при необходимости обращайтесь к разделу уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку).
Секущая прямая разбивает график функции на три части: слева от точки А, от А до В и справа от точки В, хотя может иметь более чем две общих точки с графиком функции.
На рисунке ниже приведены три фактически разных секущих (точки А и В различны), но они совпадают и задаются одним уравнением.
В некоторых случаях секущая может иметь с графиком функции бесконечное число точек пересечения. Например, секущая, определяемая уравнением y=0, имеет бесконечное число общих точек с синусоидой.
Определение.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке 
называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к 
.
Поясним это определение на примере. Покажем, что прямая y = x+1 является касательной к графику функции 
в точке (1; 2). Для этого покажем графики этих функций при приближении к точке касания (1; 2). Черным цветом показан график функции , касательная прямая показана синей линией, точка касания изображена красной точкой.
Каждый последующий рисунок является увеличенной областью предыдущего (эти области выделены красными квадратами).
практически сливается с касательной прямой y=x+1.
А сейчас перейдем к более значимому определению касательной.
Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ, если точку В бесконечно приближать к точке А.
Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.
(показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной 
(изображен красной сплошной дугой).
Определение.
Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при 
.
Вот теперь можно переходить к оописанию геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке.
и 
, где 
— приращение аргумента. Обозначим через 
приращение функции. Отметим все на чертеже:
. Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то 
.
Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y=f(x) в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 
, обозначается 
.
Следовательно, 
, где 
— угловой коэффициент касательной.
Таким образом, существование производной функции y=f(x) в точке эквивалентно существованию касательной к графику функции y=f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть 
.
Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке.
Уравнение касательной прямой.
Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной в точке . То есть, из пункта геометрический смысл производной функции в точке мы можем взять все данные для записи уравнения касательной прямой.
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке имеет вид 
.
Мы подразумеваем, что существует конечное значение производной 
, в противном случае касательная прямая либо вертикальна (если 
и 
), либо не существует (если 
).
В зависимости от углового коэффициента , касательная может быть параллельна оси абсцисс (
), параллельна оси ординат (
в этом случае уравнение касательной будет иметь вид 
), возрастать (
) или убывать (
).
Самое время привести несколько примеров для пояснения.
Пример.
Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке (-1;-3) и определить угол наклона.
Решение.
Функция определена для всех действительных чисел (при необходимости обращайтесь к статье область определения функции). Так как (-1;-3) – точка касания, то 
.
Находим производную (для этого может пригодиться материал статьи дифференцирование функции, нахождение производной) и вычисляем ее значение в точке 
:
Так как значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной, а он равен тангенсу угла наклона, то 
.
Следовательно, угол наклона касательной равен 
, а уравнение касательной прямой имеет вид
Графическая иллюстрация.
Черным цветом показан график исходной функции, касательная прямая изображена синей линией, точка касания — красной точкой. Рисунок справа представляет собой увеличенную область, обозначенную красным пунктирным квадратом на рисунке слева.
Пример.
Выяснить, существует ли касательная к графику функции 
в точке (1; 1), если да, то составить ее уравнение и определить угол ее наклона.
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел.
Находим производную:
При 
производная не определена, но 
и 
, следовательно, в точке (1;1) существует вертикальная касательная, ее уравнение имеет вид x = 1, а угол наклона равен 
.
Графическая иллюстрация.
Пример.
Найти все точки графика функции 
, в которых:
a) касательная не существует; b) касательная параллельна оси абсцисс; c) касательная параллельна прямой 
.
Решение.
Как всегда начинаем с области определения функции. В нашем примере функция определена на всем множестве действительных чисел. Раскроем знак модуля, для этого рассмотрим два промежутка 
и 
:
Продифференцируем функцию:
При x=-2 производная не существует, так как односторонние пределы в этой точке не равны:
Таким образом, вычислив значение функции при x=-2, мы можем дать ответ на пункт а): 
, касательная к графику функции не существует в точке (-2;-2).
b) Касательная параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю (тангенс угла наклона равен нулю). Так как 
, то нам нужно найти все значения х, при которых производная функции обращается в ноль. Эти значения и будут абсциссами точек касания, в которых касательная параллельна оси Ox.
При решаем уравнение 
, а при 
— уравнение 
:
Осталось вычислить соответствующие значения функции:
Поэтому, 
— искомые точки графика функции.
Графическая иллюстрация.
График исходной функции изображен черной линией, красными точками отмечены найденные точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.
c) Если две прямые на плоскости параллельны, то их угловые коэффициенты равны (об этом написано в статье параллельные прямые, параллельность прямых). Исходя из этого утверждения, нам нужно найти все точки графика функции, в которых угловой коэффициент касательной равен восьми пятым. То есть, нам нужно решить уравнение 
. Таким образом, при решаем уравнение 
, а при — уравнение 
.
Дискриминант первого уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет действительных корней:
Второе уравнение имеет два действительных корня:
Находим соответствующие значения функции:
В точках 
касательные к графику функции параллельны прямой .
Графическая иллюстрация.
График функции изображен черной линией, красной линией показан график прямой , синими линиями показаны касательные к графику функции в точках .
Для тригонометрических функций в силу их периодичности, может существовать бесконечно много касательных прямых, имеющих один угол наклона (одинаковый угловой коэффициент).
Пример.
Написать уравнения всех касательных к графику функции 
, которые перпендикулярны прямой 
.
Решение.
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции нам достаточно знать ее угловой коэффициент и координаты точки касания.
Угловой коэффициент касательных найдем из условия перпендикулярности прямых: произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно минус единице, то есть 
. Так как по условию угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен 
, то 
.
Приступим к нахождению координат точек касания. Для начала найдем абсциссы, затем вычислим соответствующие значения функции – это будут ординаты точек касания.
При описании геометрического смысла производной функции в точке мы отметили, что 
. Из этого равенства найдем абсциссы точек касания.
Мы пришли к тригонометрическому уравнению. Просим обратить на него внимание, так как позже мы его используем при вычислении ординат точек касания. Решаем его (при затруднениях обращайтесь к разделу решение тригонометрических уравнений):
Абсциссы точек касания найдены, вычислим соответствующие ординаты (здесь используем равенство, на которое мы просили обратить внимание чуть выше):
Таким образом, 
— все точки касания. Следовательно, искомые уравнения касательных имеют вид:
Графическая иллюстрация.
На рисунке черной кривой показан график исходной функции на отрезке [-10;10], синими линиями изображены касательные прямые. Хорошо видно, что они перпендикулярны красной прямой . Точки касания отмечены красными точками.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.
До этого момента мы занимались нахождением уравнений касательных к графикам однозначных функций вида y = f(x) в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.
Касательная к окружности.
Окружность с центром в точке 
и радиусом R задается равенством 
.
Запишем это равенство в виде объединения двух функций:
Здесь первая функция соответствует верхней полуокружности, вторая — нижней.
, принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции 
(или 
) в указанной точке.
Легко показать, что в точках окружности с координатами 
и 
касательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениями 
и 
соответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точках 
и 
— параллельны оси ординат и имеют уравнения 
и 
соответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).
Касательная к эллипсу.
Эллипс с центром в точке с полуосями a и b задается уравнением 
.
Эллипс также как и окружность можно задать объединением двух функций — верхнего и нижнего полуэллипса:
Пример.
Написать уравнения касательных к эллипсу 
в точках с абсциссами x=2.
Решение.
Найдем сначала ординаты точек касания, соответствующих абсциссам x=2. Для этого подставим значение x=2 в уравнение эллипса и решим полученное уравнение относительно y:
Таким образом, получаем две точки касания 
и 
, принадлежащие верхнему и нижнему полуэллипсу соответственно.
Найдем уравнения полуэллипсов, для этого разрешим уравнение эллипса относительно y:
То есть, верхний полуэллипс задается функцией 
, а нижний — 
.
Теперь можем действовать по стандартному алгоритму для составления уравнения касательной к графику функции в точке.
Первая касательная в точке :
Вторая касательная в точке :
Графическая иллюстрация.
Касательная к гиперболе.
Гипербола с центром в точке и вершинами 
и 
задается равенством 
(рисунок ниже слева), а с вершинами 
и 
— равенством 
(рисунок ниже справа).
или 
.
Таким образом, для нахождения уравнения касательной к гиперболе, выясняем какой функции принадлежит точка касания, и действуем обычным образом.
Возникает логичный вопрос, как определить какой из функций принадлежит точка. Для ответа на него подставляем координаты в каждое уравнение и смотрим, какое из равенств обращается в тождество. Рассмотрим это на примере.
Пример.
Составьте уравнение касательной к гиперболе 
в точке 
.
Решение.
Запишем гиперболу в виде двух функций:
Выясним к какой функции принадлежит точка касания .
Для первой функции 
, следовательно, точка не принадлежит графику этой функции.
Для второй функции 
, следовательно, точка принадлежит графику этой функции.
Находим угловой коэффициент касательной:
Таким образом, уравнение касательной имеет вид 
.
Графическая иллюстрация.
Касательная к параболе.
Для составления уравнения касательной к параболе вида 
в точке 
пользуемся стандартной схемой, и уравнение касательной записываем как 
. Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Ох.
Параболу 
сначала зададим объединением двух функций. Для этого разрешим это уравнение относительно y:
и действуем по стандартной схеме.
Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Оу.
Пример.
Написать уравнение касательной к графику параболы 
, если угол наклона касательной равен 
.
Решение.
Представим параболу через две функции:
Мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке и равен тангенсу угла наклона: 
. Из этого равенства мы можем найти абсциссу точки касания.
Для первой функции:
Полученное уравнение действительных корней не имеет, следовательно, к этой функции не существует касательной с углом наклона .
Для второй функции:
Получаем точку касания 
.
Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид 
.
Графическая иллюстрация.
