Производная параметрически заданной функции

В зависимости от правила, устанавливающего зависимость между множествами значений величин x и y, различают несколько способов задания функции. Наиболее привычным является представление функции в явном виде . Однако, в некоторых случаях удобно описывать функциональную зависимость множеством пар значений (x; y), которые вычисляются для каждого значения параметра t из промежутка (a; b). К примеру, все пары значений  при  задают окружность с центром в начале координат радиуса 3.

Определение параметрически заданной функции.

Таким образом, если  определены при  и существует обратная функция  для , то говорят о параметрическом задании функции .

При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции , также остановимся на производной второго и n-ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть  определены и дифференцируемы при , причем  и  имеет обратную функцию .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию , аргументом которой является x.

По правилу нахождения производной сложной функции имеем: . Так как  и  обратные функции, то по формуле производной обратной функции , поэтому .

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Дальнейшее изложение предполагает умение пользоваться таблицей производных, правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что производная функции по аргументу x также задается через параметр t, поэтому в ответе нужно указывать и выражение аргумента x через параметр t (строчка переписывается из условия), иначе потеряется связь между значениями производной параметрически заданной функции и аргументом, которому эти значения соответствуют.

Для нахождения производной второго порядка параметрически заданной функции, можно к найденной производной первого порядка вновь применить формулу:

Аналогично находятся производные высших порядков параметрически заданных функций.