При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные правила дифференцирования, которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.
При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X.
То есть, для любого 
справедливо 
, где 
— приращения соответствующих функций.
В другой записи 
.
К основным правилам дифференцирования относят:
Вынесение постоянного множителя за знак производной.
Докажем формулу 
. По определению производной имеем:
Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому
На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.
Пример.
Найти производную функции 
.
Решение.
Из таблицы производных для тригонометрических функций видим 
. Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной:
Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.
Пример.
Выполнить дифференцирование функции 
.
Решение.
По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи 
. Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:
Пример.
Найти производную функции 
.
Решение.
Преобразуем исходную функцию 
.
Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:
Производная суммы, производная разности.
воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных 
.
Пример.
Найти производную функции 
.
Решение.
Упростим вид исходной функции 
.
Используем правило производной суммы (разности): 
В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому
Осталось воспользоваться таблицей производных:
Производная произведения функций.
Докажем правило дифференцирования произведения двух функций 
.
Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что 
и 
(приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
Что и требовалось доказать.
Пример.
Продифференцировать функцию 
.
Решение.
В данном примере 
. Применяем правило производной произведения:
Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:
Пример.
Найти производную функции 
.
Решение.
В этом примере 
. Следовательно,
Давайте рассмотрим случай нахождения производной произведения трех функций. В принципе, по этой же системе можно дифференцировать произведение и четырех, и пяти, и двадцати пяти функций.
Пример.
Выполнить дифференцирование функции 
.
Решение.
Будем исходить из правила дифференцирования произведения двух функций. В качестве функции f(x) будем считать произведение (1+x)sinx, а в качестве g(x) возьмем lnx:
Для нахождения 
вновь применяем правило производной произведения:
Используем правило производной суммы и таблицу производных:
Подставляем полученный результат:
Как видите, порой приходится применять несколько правил дифференцирования в одном примере. Сложного в этом ничего нет, главное действовать последовательно и не мешать все в кучу.
Пример.
Найти производную функции 
.
Решение.
Функция представляет собой разность выражений 
и 
, поэтому
В первом выражении выносим двойку за знак производной, а ко второму выражению применяем правило дифференцирования произведения:
Производная частного двух функций (производная дроби).
Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) 
. Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.
По определению производной
Пример.
Выполнить дифференцирование функции 
.
Решение.
Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:
Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:
В заключении, давайте соберем все правила в одном примере.
Пример.
Найти производную функции 
, где a – положительное действительное число.
Решение.
А теперь по порядку.
Первое слагаемое 
.
Второе слагаемое
Третье слагаемое
Собираем все вместе:
Наверное, Вы заметили, что в разобранных примерах фигурировали только основные элементарные функции, связанные знаками алгебраических действий. Производные таких функций легко могут быть найдены с использованием правил дифференцирования. Однако, намного чаще нам приходится иметь дело с функциями более сложного вида.
Когда мы разберемся с производной сложной функции, то Вы сможете спокойно переходить к дифференцированию любых функций одной переменной, заданных в явном виде.