Пределы, нахождение пределов
Разберитесь что такое пределы и как их находить, запомните основные методы нахождения пределов и научитесь применять их при решении примеров.
Функции и называют бесконечно малыми при , если и Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Пусть — бесконечно малая при .
При нахождении предела показательно степенной функции достаточно часто приходится иметь дело со степенными неопределенностями вида , или . В раскрытии подобного рода неопределенностей помогает использование логарифмирования , свойства логарифма и использование свойства предела непрерывной функции (знак предельного
Второй замечательный предел имеет вид: или в другой записи В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность . Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному
Первый замечательный предел имеет вид: На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде где, k – коэффициент. Пояснение: Следствия первого замечательного предела: Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или замену эквивалентных
Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность . К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на
Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции. Утверждение. Значение предела в точке непрерывности функции
С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались. При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями. Перечислим все основные
С нахождением пределов связаны множество задач: от исследования функций на непрерывность, поиска асимптот графика функции до выяснения сходимости рядов и взятия несобственных интегралов. Этим фактором объясняется основная цель этого раздела — дать
Начнем с общих вещей, которые ОЧЕНЬ важны, но мало кто обращает на них внимание. Предел функции — основные понятия. Бесконечность обозначают символом . По сути, бесконечность это есть либо бесконечно большое
Исследование функции на непрерывность связано с нахождением односторонних пределов функции. Так что рекомендуем ознакомится с разделом Предел функции, основные определения и понятия, прежде чем двигаться дальше. Определение непрерывности функции в